Leggi coniugate

In economia e in matematica finanziaria, si definiscono leggi coniugate due leggi finanziarie (una di capitalizzazione e una di attualizzazione) quando il capitale iniziale di un montante, ottenuto con una legge di capitalizzazione, coincide con il valore attuale dello stesso montante, calcolato con una legge d'attualizzazione.

Formule

Questo equivale a dire che, data la legge di capitalizzazione

${\displaystyle M(t)=C\cdot f(t)}$ , dove ${\displaystyle C\ }$ è il capitale iniziale ed ${\displaystyle M\ }$ il montante in funzione del tempo ${\displaystyle t\ }$,

e data la legge di attualizzazione

${\displaystyle V_{a}(t)=C_{f}\cdot g(t)}$ , dove ${\displaystyle V_{a}\ }$ è il valore attuale di un capitale ${\displaystyle C_{f}\ }$ disponibile al tempo futuro ${\displaystyle t\ }$,

se si fissa nella legge di capitalizzazione, per il capitale iniziale ${\displaystyle C\ }$, il valore assunto da ${\displaystyle V_{a}\ }$ ad un dato tempo ${\displaystyle {\bar {t}}}$:

${\displaystyle C:=V_{a}\left({\bar {t}}\right)}$

sussiste allora la relazione:

${\displaystyle M\left({\bar {t}}\right)=C_{f}}$,

comunque si scelga ${\displaystyle {\bar {t}}\geq 0}$ .

È allora facile verificare che tra ${\displaystyle f\ }$ e ${\displaystyle g\ }$ deve valere:

${\displaystyle g(t)={\frac {1}{f(t)}}}$

Infatti, sostituendo, nella legge di capitalizzazione, a ${\displaystyle M\left({\bar {t}}\right)}$ il valore corrispondente ${\displaystyle C_{f}\ }$ e a ${\displaystyle C\ }$ il valore corrispondente ${\displaystyle V_{a}\left({\bar {t}}\right)}$, si ottiene:

${\displaystyle C_{f}=V_{a}\cdot f({\bar {t}})}$,

da cui

${\displaystyle V_{a}({\bar {t}})=C_{f}\cdot {\frac {1}{f({\bar {t}})}}}$

Poiché tuttavia questo vale per ogni ${\displaystyle {\bar {t}}\geq 0}$, possiamo scrivere:

${\displaystyle V_{a}(t)=C_{f}\cdot {\frac {1}{f(t)}}}$

e da qui l'asserto.

Condizioni

A questo punto appare evidente, seppure non esplicitato in quanto detto finora, che affinché le due leggi, di capitalizzazione e di attualizzazione, risultino coniugate, occorre che i regimi finanziari che esse applicano siano equivalenti o, più esattamente, tra loro coniugati, così come coniugati devono essere i rispettivi tassi di interesse e di sconto.

Partiamo a tal fine dalla relazione di equivalenza:

${\displaystyle I(t)\ =D(t)\ =M(t)\ -C\ =C_{f}-V_{a}(t)}$

da cui

${\displaystyle I(t)\ =D(t)\ =C\cdot [f(t)-1]}$

ed anche

${\displaystyle I(t)\ =D(t)\ =C_{f}\cdot [1-g(t)]}$

passando ora alle definizioni di tasso di interesse di periodo:

${\displaystyle i(t)\ ={\frac {I(t)}{C}}={\frac {M(t)}{C}}-1=f(t)-1}$

e di tasso di sconto di periodo:

${\displaystyle d(t)\ ={\frac {D(t)}{C_{f}}}={\frac {C_{f}\cdot [1-g(t)]}{C_{f}}}=1-g(t)=1-{\frac {1}{f(t)}}}$

Da qui, ricavando nelle due relazioni ${\displaystyle f(t)\ }$:

${\displaystyle f(t)\ =i(t) 1}$

${\displaystyle f(t)\ ={\frac {1}{1-d(t)}}}$

otteniamo la relazione che lega ${\displaystyle i(t)\ }$ a ${\displaystyle d(t)\ }$ :

${\displaystyle i(t)={\frac {1}{1-d(t)}}-1}$ e quindi:

${\displaystyle i(t)={\frac {d(t)}{1-d(t)}}}$

Diamo infine il prospetto di corrispondenza tra regimi di capitalizzazione e regimi di attualizzazione ad essi coniugati:

Regime di capitalizzazione semplice ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ regime di attualizzazione a sconto semplice (o razionale)

${\displaystyle M(t)=C(1 it)\Longleftrightarrow V_{a}(t)={\frac {C_{f}}{1 it}}}$

Regime di capitalizzazione a interesse composto ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ regime di attualizzazione a sconto composto

${\displaystyle M(t)=C(1 i)^{t}\Longleftrightarrow V_{a}(t)={\frac {C_{f}}{(1 i)^{t}}}}$

Regime di capitalizzazione a interesse anticipato ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ regime di attualizzazione a sconto commerciale

${\displaystyle M(t)=C{\frac {1}{1-dt}}\Longleftrightarrow V_{a}(t)=C_{f}(1-dt)}$

Note